Siguiendo en donde nos habíamos quedado, hay que demostrar esos tres puntos; en qué orden. En el  orden en que los demostré, que además es su orden lógico. Sin embargo, no me lo planteé en ese orden, lo hice así porque lo primero que quería demostrar, lo más difícil y lo que dejaba ya la conjetura en jaque mate, no me salía. Y lo primero que quería demostrar es que siempre existe ese divisor primo del que hablaba en el capítulo de ayer, ese divisor de los compuestos que son coprimos con el par del extremo de la sucesión (o "jardinera") y el cual es diferente al valor de cualquiera de las distancias que estos  coprimos mantienen con ese par (y recordemos también que cuando hablo de dichos coprimos, los coprimos a secas, que digo para abreviar, son los que están en la mitad derecha de la sucesión). Si existe tal divisor primo, entonces, siempre existen dos primos que sumen el par.

 Supongámoslo demostrado; qué ocurre. Que hay un pero: pero ¿qué pasa si ese divisor primo, de algún compuesto coprimo de ese lado, se encuentra en ese mismo lado? Que entonces no puede ser el simétrico y no asegura ni mucho menos esa suma de dos primos. Veremos que todos los divisores de los números del lado derecho, a excepción de los propios números, están siempre en el lado izquierdo.

 La demostración es muy sencilla:

Supongamos que el par es, qué sé yo, 14, por ejemplo.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14

El centro, la mitad del par, es 7, el cual al dividir a 14 da dos; el divisor más pequeño aparte del uno. Por tanto, cualquier número que esté a la derecha de 7, en el lado derecho de la "jardinera", será demasiado grande para ser divisor de 14; nunca dará un número entero, dicho de otra manera. Si 7 partido de catorce es 2, entonces 8 partido de catorce es menor que 2, y lo mismo con el 9 y todos los que le siguen (dan de resultado uno coma algo). Y mucho menos pueden ser divisores de los que son más pequeños que 7; es decir, que los números de la derecha no dividen a ningún otro número de la sucesión; cada uno se divide a sí mismo y a nadie más. Esto quiere decir, lógicamente, que en el lado derecho no hay divisores de los otros números de la sucesión y que, por tanto, si alguno de estos números del lado derecho son compuestos, tendrán sus divisores en el lado izquierdo.

 Lo podemos ver simplemente fijándonos en los números de esa sucesión de arriba: el 9 está a la derecha y es divisible por tres; dónde está el tres, a la izquierda. El 12 es divisible por 3 y por 2, que están a la izquierda... Y así pasará con cualquier sucesión de números naturales que elijamos, con el par 12 ó 26 ó 34 ó el que queramos. No puede ser de otra manera.

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Luego ya tenemos resuelto ese primer punto que necesitábamos.

Ahora surge una segunda contrariedad: qué pasa si no hay compuestos coprimos con el par en el lado derecho, porque entonces seguro que no existe ese divisor primo distinto del valor de cualquier distancia  a los compuestos coprimos con el par de ese lado; ya que no hay de éstos, tampoco hay distancias a ellos.

Vamos a demostrar que en este caso también existen siempre dos primos que suman el par.

 Igualmente ahora la demostración es muy simple. Resulta que existe un teorema, el postulado de Bertrand o teorema de Chebichev, que ya está demostrado y admitido desde hace muchos años, que dice que siempre existe un número primo entre n y 2n; para que se entienda, esto no es otra cosa que el lado derecho de la "jardinera", de la sucesión. En el lado derecho existe siempre al menos un primo.

 Ahora basta fijarse en que cualquier primo que esté en ese lado ha de ser coprimo con el par, con 2n, ya que, no puede dividir a éste; por lo dicho más arriba, porque al par no lo divide ningún número mayor que su mitad, y un primo del lado derecho es mayor que su mitad, o sea, que n. Por otra parte, como es primo, no está compuesto más que por él mismo, luego seguro que no tiene ningún divisor común con el par, seguro que es coprimo con éste.

Entonces, ese primo es un primo coprimo con el par y, por lo ya explicado en otros capítulos, sólo puede sumar el par con un simétrico coprimo, con un número que no sea divisor del par. Ahora bien, ese coprimo simétrico, que estaría en el lado izquierdo, podría ser compuesto; por lo que tal cosa, de momento, no asegura que dos primos sumen el par. Luego hay que buscar algún argumento más; cosa que encontraremos inmediatamente.

  Tenemos que existe con seguridad un primo coprimo en el lado derecho, tenemos que existe con seguridad un simétrico coprimo, al menos compuesto, que suma el par con dicho primo. Pues bien, supongamos que es compuesto y pensemos a ver qué puede pasar.

En ese caso, el compuesto coprimo del lado izquierdo habrá de tener a su izquierda los valores primos de los que esté compuesto; y éstos estarán también en el lado izquierdo, obviamente, y serán también coprimos con el par por ser divisores de un coprimo. Por consiguiente, ya podemos estar seguros de que existe algún primo coprimo con el par que está en el lado izquierdo. Tal valor habrá de sumar también con algún simétrico coprimo del lado derecho; pero esta vez no puede ser compuesto, dado que el caso que estamos analizando supone que no existen compuestos coprimos con el par en el lado derecho. Por lo que el simétrico habrá de ser también primo.

Y así queda demostrado el segundo punto que necesitábamos, siempre encontramos dos primos que suman el par en caso de que no haya compuestos coprimos en el lado derecho.

Y ahora sí, ya sólo queda demostrar el otro caso, en el que sí existen compuestos coprimos con el par (refiriéndonos al lado derecho de la sucesión). Y en este caso, como ya vimos, habrá dos primos que sumen el par siempre que exista ese divisor primo, ese divisor primo de alguno de esos coprimos,  que sea distinto del valor de cualquier distancia; es decir, distinto de los valores de las distancias que los mencionados coprimos mantienen con el par.

Voy a hacer ver que siempre existe y voy a hacerlo mostrando cómo empecé a pensar sobre ello, mostrando las deducciones lógicas que fui encadenando, pero esto no puede ser demasiado breve.

Hagamos la hipótesis de que tal divisor primo, distinto del valor de las distancias entre el par y sus coprimos, no existe para algún número par; trabajemos sobre ello.

Para empezar hay que decir que los coprimos con el par que son simétricos también son coprimos entre ellos; o sea, no pueden tener ningún divisor común. Lo cual es simple de ver: sean s y t dos de estos simétricos, entonces s+t=2n, si ambos sumandos tuvieran un divisor común, éste también sería divisor de 2n y no serían coprimos. Dicho de otra manera, el valor de la distancia asociada a un coprimo no puede ser componente de ese coprimo; puede serlo de otro coprimo distinto, pero no de él mismo.

Unir a la hipótesis que se ha hecho esta última propiedad resulta decisivo. Veamos:

1 ...a...b...c...  n  ... C...B...A... 2n

Ahí tenemos n, que es la mitad del par, 2n. También tenemos en letras mayúsculas los compuestos coprimos con el par que están en la mitad derecha (he puesto tres de ejemplo). En el lado izquierdo están sus simétricos; que han de ser también coprimos con el par. Por lo que se acaba de ver antes, a no puede nunca ser divisor de A, luego tampoco puede ser componente de A; sí lo podría ser de B ó de C ó de ambos.

Según la hipótesis, si los coprimos no están compuestos de ningún divisor distinto de ninguna de las distancias, es porque todos sus divisores primos son valores de distancias.

 En consecuencia, las distancias a las que están situados los coprimos han de venir dadas necesariamente en valores primos; de lo contrario podríamos encontrar que el coprimo A, por ejemplo, podría estar a distancia bc, o sea, que su distancia sería la composición de otras dos distancias, con lo que aparecería el absurdo de que hay más distancias que compuestos coprimos:

a;  b; c; bc.

Naturalmente es imposible, si sólo hay tres coprimos de los que hablamos, sólo puede haber tres distancias asociadas a ellos. Podría ser, no obstante, que existiera un coprimo que estuviera a una distancia que no se correspondiera con ningún divisor de éstos; pero no entraría en consideración respecto de lo dicho, por no ser el valor de su distancia la de ningún divisor de los coprimos  con el par.

 Por tanto, salvando la excepción que se acaba de hacer, y según la hipótesis —que recordemos que es la que invalida la conjetura— es necesario que cada distancia venga dada por un primo, diferente cada uno, y que éstos sean divisores de los compuestos coprimos, lo que lleva a deducir de inmediato que en tal caso existirán tantos divisores distintos, de los compuestos coprimos, como distancias. Si hubiera tan sólo un divisor más que el número de coprimos, respecto de los coprimos que tratamos, la hipótesis resultaría falsa y se cumpliría la conjetura. Hay que observar que en caso de que exista un coprimo que no esté a distancia de ninguno de estos divisores, lo que hace es aportar divisores extras que facilitan que exista un divisor primo, y coprimo con el par, distinto de las distancias. 

Ya sigo otro día, para que no se haga más pesado de lo que es.